Rumus bilangan kelipatan

Oleh : Muchamad Hamam

Artikel ini boleh dicopy tanpa tujuan komersial dengan tetap menyertakan nama penulis dan sumbernya (http://krematika.blogspot.com) Penyebaran artikel untuk tujuan komersial harap menghubungi penulis.

Waktu kalian duduk di bangku SD atau SMP, atau bagi adik-adik yang masih duduk di bangku SD atau SMP mungkin telah diperkenalkan oleh bapak/ ibu guru dengan ciri-ciri bilangan habis dibagi, mulai habis dibagi 2, 3, 4, …. Atau kalian mengenal ciri-ciri bilangan tersebut dengan membaca buku-buku baik buku pelajaran di sekolah maupun buku yang kalian beli dari toko-toko buku. Yang banyak saya jumpai dari buku-buku tersebut adalah ciri-ciri bilangan habis dibagi 2,3,4,5,6,8,9,10,11,25,50,dan 100. Jarang atau bahkan belum pernah saya menjumpai buku yang menuliskan ciri-ciri bilangan habis dibagi 7,12,13,14, … selain yang saya sebutkan di atas. Perlu diketahui bahwa “semua bilangan kelipatan itu mempunyai ciri-ciri dan rumus”, mulai dari kelipatan 2,3,4, … sampai bilangan tak terhingga.

Okey, pada postingan kali ini saya akan menuliskan 3 rumus bilangan kelipatan, yaitu rumus bilangan kelipatan 9, 11, dan 125. Untuk rumus bilangan kelipatan lain dapat kalian temukan dalam buku yang saya tulis dengan judul “Kreatif Matematika dengan Kaidah Muhamam.”

Dalam penulisan rumus, bilangan dinyatakan sebagai AX dimana :

X  = angka satuan dari bilangan AX,

A  = semua angka di depan angka satuan,

B  = semua angka di depan angka puluhan,

C  = semua angka di depan angka ratusan, dan seterusnya,

S₁  = angka satuan,

S₂ = angka puluhan,

S₃ = angka ratusan, dan seterusnya.

Dari pernyataan di atas, misalnya AX = 847.631 maka X = 1; A = 84.763;  B = 8.476; C = 847; D = 84;  E = 8;  S₁ = 1;  S₂ = 3;  S₃ = 6;  S₄ = 7;  S₅ = 4;  S₆ = 8

1. Bilangan AX kelipatan 9

Rumus umumnya :   S₁ + S₂ + S₃ + … = 9n  dimana n = 1,2,3, …

Kalian bisa mengambil nilai n tak terhingga untuk mendapatkan bilangan kelipatan 9 tak terhingga. Sekarang mari kita buktikan.

a.       Bilangan 2 digit kelipatan 9

Dari rumus umum di atas kita akan mendapatkan bilangan 2 digit kelipatan 9 apabila jumlah dari angka satuan dan angka puluhan atau (S₁ + S₂) sama dengan 9n. Di sini nilai n ada dua kemungkinan yaitu n = 1 dan n = 2.

S₁ + S₂ = 9n  dimana  n = 1,2.

Untuk n = 1

 A      X

S₂  +  S₁  =  9

 1  +   8   =  9 → bilangan AX = 18

 2  +   7   =  9 → bilangan AX = 27

 3  +   6   =  9 → bilangan AX = 36

 ……………………………………

 8  +   1   =  9 → bilangan AX = 81

 9  +   0   =  9 → bilangan AX = 90

Untuk n = 2

 A      X

S₂  +  S₁  = 18

 9   +  9   = 18→ bilangan AX = 99

b.      Bilangan 3 digit kelipatan 9

Bilangan 3 digit kelipatan 9 apabila jumlah dari angka satuan, puluhan, dan ratusan atau jumlah dari (S₁ + S₂ + S₃) sama dengan 9n.

S₁ + S₂ + S₃ = 9n  dimana n = 1,2,3. Dari rumus jika :

−        n = 1 akan didapatkan bilangan kelipatan 9 :  117, 261, 126, 612, 711, dll

−        n = 2 akan didapatkan bilangan kelipatan 9 : 648, 846, 774, 747, 477, dll

−        n = 3 akan didapatkan bilangan kelipatan 9 :   999 (hanya ada satu bilangan)

Untuk membuktikan, bilangan-bilangan tersebut  di atas mari kita bagi dengan 9, misalnya 774 dan 612

774 : 9 = 86

612 : 9 = 68 ( terbukti)

2.      Bilangan AX kelipatan 11

Rumus umumnya :    (S₁ + S₃ +  S₅ + …)  –  (S₂ + S₄ +  S₆ + …)  =  11n    dimana

                                n = …, −2, −1, 0, 1, 2, …

Contoh :

a.       737               bilangan kelipatan 11 dengan nilai n = 1

1.727            1.727 →     (S₁ + S₃ )  –  (S₂ + S₄ )  =  11

                                         (7  +  7 )  −  ( 2 +  1  )   =  11

                                              14       −       3          =  11

b.      682               bilangan kelipatan 11 dengan nilai n = 0

3.465            3.465→      (S₁ + S₃ )  –  (S₂ + S₄ )  =  0

                                         ( 5 + 4  )  −  ( 6 +  3 )   =  0

                                               9        −       9          =  0

c.   8.173

28.193

     bilangan kelipatan 11 dengan nilai n = −1 
     28.193  →   (S₁ + S₃ +  S₅ )  –  (S₂ + S₄ )  =  −11

                                        ( 3 + 1  +  2  )    −  ( 9  +  8 )  =  −11

                                                       6         −        17       =  −11

Pembuktian :

a.       1.727   : 11 = 157

b.      3.465   : 11 = 315

c.       28.193 : 11 = 2.563

Untuk bilangan kelipatan 11 dengan nilai n = −2, −3,−4, …atau n = 2, 3, 4, … silahkan kalian mencoba sendiri. Tentunya untuk bilangan dengan digit lebih besar.

3.      Bilangan AX kelipatan 125

Rumus umumnya :   26(B + D + F + …) – (S₂S₁ + S₄S₃ + S₆S₅ + …) = 125n

                              dimana n = 0,1,2,3, …

Kalian telah mengetahui bahwa barisan bilangan kelipatan 125 adalah 250, 375, 500, 625, 750, 875, 1.000, 1.125, 1.375, 1.500, 1.625, …, 18.750, 18.875,19.000, …

Menggunakan bilangan-bilangan ini rumus tersebut mari kita buktikan. Misalnya kita menggunakan bilangan 1.625 dan 18.875.

a.       1.625     → menurut  ketentuan, bagian-bagian  dari bilangan  1.625  ialah

                   AX = 1.625;  A = 162;  B = 16;  C = 1;  S₂S₁ = 25;  S₄S₃ = 16

Rumus umum bilangan 4 digit kelipatan 125 adalah :

26B    –    (S₂S₁ + S₄S₃) = 125n      (lihat rumus umum di atas)

(26x16) –  ( 25  +  16  )  = 125n  ambil nilai n = 3

    416   −        41            = 375 (benar)

b.      18.875 → bagian-bagian dari bilangan 18.875 ialah  AX = 18.875; A = 1.887;

                B = 188;  C = 18;  D = 1;  S₂S₁ = 75;  S₄S₃ = 88;  S₅ = 1

Rumus umum bilangan 5 digit kelipatan 125 adalah :

26(B + D)     –  (S₂S₁+S₄S₃+ S₅)  = 125n      (lihat rumus umum di atas)

{26(188+1)} −  (  75 + 88  + 1 )   = 125n

( 26 x 189 )   −            164            =  125n   ambil nilai n = 38

      4.914      −            164            =  4.750 (benar)

Jadi rumus di atas adalah benar. Mau membuktikan dengan bilangan-bilangan lain?

Silahkan mencoba! Sebenarnya masih ada rumus lain untuk bilangan kelipatan 9, 11, dan 125. Temukan semua itu di dalam buku “Kreatif Matematika dengan Kaidah Muhamam”

            Semoga bermanfaat!